➕ 二進制加法和減法
➕ 二進制算術運算
二進制加法和減法是數碼系統中的基本運算。理解這些運算的工作原理對於理解計算機算術和數碼邏輯至關重要。
➕ 二進制加法
二進制加法遵循與十進制加法類似的規則，但只有兩個數字（0和1）：
📝 基本規則
- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 0，進位1（相當於十進制中的2，二進制表示為10）
- 1 + 1 + 1 = 1，進位1（相當於十進制中的3，二進制表示為11）
🔢 逐步過程
- 從最右邊的位開始相加
- 如果和為2或3，記錄餘數並進位1
- 繼續向左，包括任何進位的數字
- 在最左邊的加法後，將任何最終進位寫為額外的位
例1：簡單加法
1 0 1 1 （十進制的11）
+ 0 1 0 1 （十進制的5）
---------
1 1 0 0 （十進制的16）
從右到左計算：
- 1 + 1 = 0，進位1
- 1 + 0 + 1（進位）= 0，進位1
- 0 + 1 + 1（進位）= 0，進位1
- 1 + 0 + 1（進位）= 0，進位1
- 最終進位：1
- 結果：10000（十進制的16）
例2：多次進位的加法
1 1 1 1 （十進制的15）
+ 0 1 1 1 （十進制的7）
---------
1 0 1 1 0 （十進制的22）
從右到左計算：
- 1 + 1 = 0，進位1
- 1 + 1 + 1（進位）= 1，進位1
- 1 + 1 + 1（進位）= 1，進位1
- 1 + 0 + 1（進位）= 0，進位1
- 最終進位：1
- 結果：10110（十進制的22）
➖ 二進制減法
二進制減法有幾種方法。我們將介紹直接方法和補碼方法。
📝 直接方法
基本規則
- 0 - 0 = 0
- 1 - 0 = 1
- 1 - 1 = 0
- 0 - 1 = 1，借位1（相當於2 - 1 = 1）
例：直接減法
1 0 1 1 （十進制的11）
- 0 1 0 1 （十進制的5）
---------
0 1 1 0 （十進制的6）
從右到左計算：
- 1 - 1 = 0
- 1 - 0 = 1
- 0 - 1 = 1，借位1（使下一位變為0）
- 0 - 0 = 0
- 結果：0110（十進制的6）
🔄 二補數方法
二補數方法在計算機中廣泛用於表示負數和執行減法。
要從A減去B（A - B）：
- 找出B的二補數
- 將其加到A
- 忽略超出原始位數的任何進位
求二補數
- 反轉所有位（將0變為1，1變為0）
- 結果加1
例：使用二補數進行減法
從11（1011）中減去5（0101）：
步驟1：求5（0101）的二補數
反轉位：1010
加1： + 1
-----
1011
步驟2：加到11（1011）
1 0 1 1 （十進制的11）
+ 1 0 1 1 （5的二補數）
---------
1 0 1 1 0
步驟3：忽略進位
0 1 1 0 （十進制的6）
⚠️ 特殊情況和注意事項
🔄 加法中的溢出
當運算結果太大，無法用可用位數表示時，就會發生溢出：
1 1 1 1 （十進制的15，4位的最大值）
+ 0 0 0 1 （十進制的1）
---------
1 0 0 0 0 （十進制的16，需要5位）
在固定寬度系統中，最左邊的進位位會丟失，可能導致錯誤。
➖ 減法中的負數結果
當使用二補數從較小的數減去較大的數時：
- 結果將以二補數形式表示
- 最左邊的位將為1，表示負數
要找到負二補數結果的絕對值，再次求其二補數。
💻 實際應用
二進制加法和減法是以下方面的基礎：
- 🧮 CPU中的算術運算
- 🧠 記憶體中的地址計算
- 📊 數碼信號處理
- 📈 實現更高級的數學函數
- 🔍 錯誤檢測和糾正碼
理解這些運算提供了對計算機如何在最基本層面執行計算的洞察。