🔢 二進制-十進制轉換

🔢 在數字系統之間轉換

二進制（以2為基數）和十進制（以10為基數）是計算中使用的兩種不同數字系統。理解如何在這些系統之間轉換是計算機科學和數碼資訊處理的基礎。

數字系統概述

🔟 十進制（基數-10）

• 我們日常使用的數字系統
• 使用10個數字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
• 位值是10的冪次（10^0、10^1、10^2等）
• 例如：425 = 4×10^2 + 2×10^1 + 5×10^0 = 400 + 20 + 5

0️⃣1️⃣ 二進制（基數-2）

• 計算機使用的數字系統
• 只使用2個數字：0和1（稱為位元）
• 位值是2的冪次（2^0、2^1、2^2等）
• 例如：1011 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

🔄 將二進制轉換為十進制

要將二進制數轉換為十進制：

1. 確定每個位元的位值（從右到左為2的冪次）
2. 將每個位元乘以其位值
3. 將所有結果相加

例1：將1010₂轉換為十進制

1    0    1    0
↓    ↓    ↓    ↓
2^3  2^2  2^1  2^0
8    4    2    1
↓    ↓    ↓    ↓
1×8  0×4  1×2  0×1
8    0    2    0

總和：8 + 0 + 2 + 0 = 10₁₀

例2：將11001₂轉換為十進制

1     1     0     0     1
↓     ↓     ↓     ↓     ↓
2^4   2^3   2^2   2^1   2^0
16    8     4     2     1
↓     ↓     ↓     ↓     ↓
1×16  1×8   0×4   0×2   1×1
16    8     0     0     1

總和：16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25₁₀

🔄 將十進制轉換為二進制

要將十進制數轉換為二進制：

1. 將數字除以2
2. 記錄餘數（0或1）
3. 繼續除以2，直到商變為0
4. 從下到上讀取餘數，得到二進制數

例1：將13₁₀轉換為二進制

除法        商        餘數
13 ÷ 2     6         1
6 ÷ 2      3         0
3 ÷ 2      1         1
1 ÷ 2      0         1

從下到上讀取餘數：1101₂

例2：將42₁₀轉換為二進制

除法        商        餘數
42 ÷ 2     21        0
21 ÷ 2     10        1
10 ÷ 2     5         0
5 ÷ 2      2         1
2 ÷ 2      1         0
1 ÷ 2      0         1

從下到上讀取餘數：101010₂

💡 替代方法：2的冪次

另一種將十進制轉換為二進制的方法是使用2的冪次：

1. 找出小於或等於該數的最大2的冪次
2. 從該數中減去這個2的冪次
3. 繼續處理餘數，找出下一個最大的2的冪次
4. 對每個使用的2的冪次標記1，未使用的標記0

例：將25₁₀轉換為二進制

• 小於或等於25的最大2的冪次是16（2^4）
• 25 - 16 = 9
• 小於或等於9的最大2的冪次是8（2^3）
• 9 - 8 = 1
• 小於或等於1的最大2的冪次是1（2^0）
• 1 - 1 = 0
• 使用的冪次：2^4、2^3、2^0
• 二進制表示：11001₂

🔌 實際應用

理解二進制-十進制轉換對以下方面至關重要：

• 💾 解釋計算機中的二進制數據
• 🧠 理解記憶體地址和數據存儲
• 💻 機器級編程
• ⚡ 處理數碼邏輯和電路
• 🔧 排除計算機系統故障

這些轉換技能為計算機科學和數碼系統中更高級的主題奠定了基礎。